Jan Hartman*

Czego filozof może nauczyć się od matematyka?

[Wykład wygłoszony z okazji odsłonięcia tablicy upamiętniającej postać prof. Stanisława Hartmana, w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Wrocławskiego, w maju 2008 r.]

Niewiele da się powiedzieć w krótkim wykładzie na temat rozległego wpływu, jaki matematyka i matematycy wywarli na dzieje myśli filozoficznej. Ars longa – lectio brevis. Z szerokiego zakresu zagadnień, które należałoby omówić wybiorę te, które potrafię ogarnąć umysłem i posiadam w ich przedmiocie jakąś skromną choćby wiedzę, pozostawiając osobom bardziej kompetentnym mówienie o bardziej specjalistycznych zagadnieniach, które począwszy od Russella i Fregego zdominowały wzajemne relacje matematyki i filozofii. W szczególności nie będę tu mówił o współczesnej filozofii matematyki, która wprawdzie z samego faktu istnienia matematyki bierze swe istnienie, lecz dosłownie biorąc nie jest przecież przykładem wpływu matematyki na filozofię jako taką. Interesuje mnie tu raczej doświadczenie intelektualne matematyki jako czynnik rozwoju myślenia filozoficznego, zwłaszcza w zakresie fundamentalnych zagadnień filozoficznych.
Łatwo się domyśleć, że filozofowie zawsze zazdrościli matematykom pewności i ścisłości ich wyników, pragnąć uzyskać ten sam efekt w filozofii. Z zazdrości tej wywodzi się wiele przedsięwzięć teoretycznych, zmierzających do uściślenia roboty filozoficznej i zwiększenia wiarygodności jej rezultatów. Każdy słyszał o Spinozie, który pragnął nawet etykę wykładać more geometrico, ale warto wiedzieć, że w XVII wieku takie projekta były czymś niemal pospolitym. Jeszcze w XX wieku, wielki filozof niemiecki, twórca nowej fenomenologii, Edmund Husserl, z wykształcenia matematyk, chciał zbudować filozofię na nowych podstawach, zapewniając jej taką samą ścisłość, jaka cechuje teorie matematyczne. Kluczem do tej ścisłości nie miała być jednak, jak u Spinozy, dyscyplina w definiowaniu i rozumowaniu, lecz nieodparta intuicja oczywistości tego, co się twierdzi. Przedmiotem zaś tych twierdzeń, twierdzeń fenomenologicznych, miały być elementy zawartości umysłu, czyli to, co doświadczane. Husserl miał nadzieję, że można będzie utkać ścisłą filozofię z twierdzeń w rodzaju „nic nie może być jednocześnie całe czerwone i całe zielone”, a więc twierdzeń pod względem swej jasności i pewności dorównujących twierdzeniom matematyki. Niestety, niewiele z tego wyszło. A zazdrość o ścisłość i pewność pozostała. Na osłodę mamy tylko opinię wielkiego i genialnego filozofa G.W.F. Hegla, że matematyka zawdzięcza swoją ścisłość wielkiej prostocie przedmiotów, które konstruuje i bada. Gdy mówił to dwieście lat temu, matematyka (znana zresztą Heglowi bardzo dobrze) być może faktycznie poruszała się pośród prostych pojęć i obiektów. Jednakże dzisiaj cokolwiek się one bodaj skomplikowały, więc heglowskie pocieszenie straciło znacznie na aktualności.

W obawie, że nie wszyscy chcieliby brnąć przez tekst mojego wykładu do końca, chciałbym na wstępie już streścić jego efekty. Oto, moim zdaniem, czego filozofowie en bloc, w toku wspólnej historii nauczyli się od matematyków:
–	że to, co rzeczywiste jest racjonalne, a to, co racjonalne jest konieczne, wieczne i ścisłe, a więc ma naturę idealną (lekcja pitagorejska);
–	że prawda jest w tym, co trwa niezmiennie. Że za każdą prawdą stoi racja, która jest wskazaniem jej źródła i jednocześnie jej dowodem. Że prawdy tworzą system, a więc powiązaną wewnętrznie całość (lekcja platońska);
–	że system ten nie opiera się na kilku prostych aksjomatach i czystej dedukcji (korekta do platonizmu – lekcja goedlowska, której tu zresztą nie odrobimy);
–	że dedukcja matematyczna jest w jakimś sensie architektoniką samego rozumu (lekcja kantowska).

Istniały w dziejach filozofii „magiczne przełomy”, związane z odkryciami matematycznymi, które pozywały filozofów, do wysiłku metafizycznej interpretacji. Te przełomy to odkrycie niewymierności, odkrycie arytmetycznej interpretacji figur geometycznych i krzywych, odkrycie granicy sumy nieskończonej i całkowania (rozwiązanie paradoksów Zenona) oraz twierdzenia Goedla. Naukowe omówienie wpływu matematyki na filozofię wymagałoby prezentacji i analizy tych właśnie wielkich wydarzeń. My ograniczymy się do uwag nader skromnych.
Warto zauważyć, że matematyka od początku była autonomiczna. Była ona jedyną dziedziną, która nie weszła w skład projektu integralnej nauki, nazwanego przez Greków w VI wieku p.n.e. filozofią. Matematycy zawsze stronili od filozofów, ale ci ostatni lgnęli do matematyki, a w wielu przypadkach sami zajmowali się matematyką. Przykładem Kartezjusz, Leibniz, Pascal, Husserl, by wspomnieć najznamienitsze postacie.
Wszystko zaczęło się od Pitagorasa, przywódcy religijnego, polityka i geometry. Pomysł Pitagorasa był taki: połączyć naukę o bogach i przyrodzie z matematyką. Idea naczelna jego metafizyki była zaś taka: realność i racjonalność bytu wyraża się w pierwiastku harmonicznym, który jest siecią stosunków liczbowych. Treścią bytu jest więc, jakbyśmy to dziś powiedzieli, struktura. Świat jest jakby wizualizacją arytmetyki, widzialną, zjawiskową stroną idealności matematycznej. Ściśle biorąc, są dwie dyscypliny matematyczne, odpowiednio do dwóch postaci wyrażania się proporcji: widzialnej w ścisłym sensie oraz słyszalnej. Geometria jest nauką o świecie widzialnym, a muzyka – o bycie pod względem tego, jak harmonicznie wybrzmiewa. Muzyka jest o tyle doskonalsza od geometrii, o ile harmonia słyszalna jest bytowo głębsza niż harmonia geometryczna (widzialna). Bezpośrednio istniejącą racjonalnością jest raczej harmonia muzyczna, wyrażająca się w stosunkach doskonałych, złożonych z liczb naturalnych. Dlatego mędrzec zdolny jest słyszeć byt – muzykę sfer (Pitagoras podobno ją słyszał!). Zdaniem pitagorejczyków wiedza w swej istocie jest wiedzą matematyczną. Matematyka jest początkiem i końcem poznania, obcowaniem umysłu z bogami – nie wolno zdradzać jej tajników byle profanom. Jak wiadomo, na cześć Pitagorasa nazwano jego imieniem wiadome twierdzenie, choć nie jest jasne, czy sam Pitagoras je sformułował. Nie wszyscy natomiast wiedzą, że z kolei sam Pitagoras nadał imię nauce, jako pierwszy określając samego siebie mianem filozofa – kochającego mądrość. Idee pitagorejskie, wpływowe w starożytności (np. w Aleksandrii) z czasem odeszły  w niepamięć. Na szczęście odrodziły się w XVI w., na progu czasów nowożytnych. Dobitnym przykładem renesansu pitagorejskiej metafizyki jest Kopernik, powołujący się na Pitagorasa, a później Galileusz i Kepler.
Kolejna wielka inspiracja matematyczna w filozofii wyraża się w dziele Platona. Dla niego byt to jednia i diada, a więc jedność absolutna i pierwotne zdwojenie, z którego wywodzi się wszelka wielość. Oczywiście jedno i dwa to byty abstrakcyjne, wszelako pojęte inaczej niż pitagorejska liczba. Platon, inspirowany przez Pitagorasa, więcej niż jego poprzednik umieścił w świecie idealnym – właściwie umieścił w nim wszelki pojęciowo uchwytny sens. Tylko to, co dla rozumu przejrzyście pojmowalne jest rzeczywiste, ale zarazem też wszystko, co dla rozumu dostępne, jest tym samym rzeczywistością. Platonizm jest też „metafizyką trójcy”. Jak już wiemy, jądrem bytu, a więc tym, co absolutne, jest jedność – boska i niepojęta – oraz zdwojenie, będące logicznym początkiem wszelkiego zróżnicowania i wielości. Ponadto jednak, każda sfera bytu jest jednością przez połączenie dwóch elementów terminem średnim, czymś trzecim: dusza jest trójcą, przyroda jest stworzona z trójkątów i ostrosłupów, a więc z trójek, a wreszcie i całość wszechrzeczy dzieli się na trzy sfery: czyste treści racjonalne, czyli idee (z naczelną ideą dobra i piękna, będącą w istocie żyjącym duchem – Bogiem) oraz rzeczy materialne, które są ich wcieleniami w dziedzinę bezkształtnej, bezpostaciowej materii, czyli czystej możliwości; tym zaś, co łączy obie sfery – idei i rzeczy – są liczby i figury matematyczne. Są to najprostsze, pierwiastkowe byty idealne, najłatwiej poddające się poznaniu. Bóg tworzy świat, wywołując go z chaotycznej, preracjonalnej sfery możności (hyle), gdyż jest dobrem i pragnie jako dobro udzielić się, rozlać poza siebie. Stwarza więc świat z miłości (agape), zaś narzędzia dobywa ze swego Rozumu. Tymi narzędziami są liczby i figury. Tak więc dwa aspekty natury Boga są przyczyną świata: miłość oraz liczba. Platon sam nie był matematykiem, ale tym bardziej czcił umiejętności geometrów, nadając szczególną rangę liczbom i figurom w swej pitagorejskiej z ducha metafizyce. Dlatego w Akademii uważano naukę matematyki, czy raczej geometrii, za wprowadzenie do wszelkich studiów, o czym mógł przekonać się każdy przekraczając bramę szkoły, w której tympanonie widniał napis „nie znającym geometrii wstęp wzbroniony”.
W starożytnej Aleksandrii matematyka sama była filozofią. Uważano ją za prawdziwą gnozę, czyli boską wiedzę o tym, a w jaki sposób jedność obejmuje wielość, a pośrednio o tym, jak panować nad całą przyrodą. Matematyka była wręcz najważniejszą częścią wiedzy o osobliwościach systemu wszechrzeczy, której znajomość pozwalała wywierać wpływ na przyrodę, los i świat duchowy. Poszukiwano wyjątkowych liczb i wzorów, którym przypisywano stwórcze, czyli magiczne właściwości. Poszukiwano osobliwości nieba i ukrytych sensów świętych ksiąg (których nie brakowało w Bibliotece, liczącej ok. 700 tys. woluminów). Gnoza i magia rozwijały się w różnych dziedzinach, jak astrologia, numerologia i kabała. Matematyk stał się depozytariuszem wiedzy tajemnej, często niebezpiecznej. Był interpretatorem symboli, na równi z astrologiem i teologiem. Był też jednak specjalistą od trudnych rachunków. Nieco podobnie jak dziś, w Aleksandrii uważano więc badanie właściwości arytmetycznych zjawisk oraz same techniki obliczeniowe (zwykle aproksymacyjne) za klucz do poznania przyrody i kierowania nimi. Niestety, nie chodziło w tym o ścisłość i dedukcyjną poprawność, lecz raczej o wewnętrzną spójność systemu metafizyczno-symbolicznego. Matematyka aleksandryjska stała się tym samym formą metafizyki. Jej zwieńczeniem był wielki system astronomiczny i kalendarzowy Ptolemeusza, oparty na platońskim założeniu o kolistości orbit. Przetrwał on rewolucję kopernikańską i funkcjonował aż do XVII w., czyli do czasu odkrycia przez Keplera eliptyczności orbit planetarnych. Nie zawadzi wspomnieć, że największa kobieta-filozof była właśnie taką filozofką-matematyczką. Nazywała się Hypatia.

W starożytnej matematyce chodziło zwykle o harmonię, a więc równowagę, symetrię, ład i piękno, nie zaś o powtarzalną prawidłowość. Liczba nie wyrażała tu jeszcze ilości, ale postać bytu. Na przykład u pitagorejczyków jedynka manifestuje się jako punkt, dwójka to linia, trójka – powierzchnia, czwórka – cielesność, piątka – jakość, szóstka – życie itd. (coraz mniej intuicyjnie). Zdominowany przez mentalność metafizyczną, czynnik dedukcyjny matematyki nie mógł w starożytności w pełni dojść do głosu. Nie znano formalizmu – znano symbolizm matematyczny (a raczej magiczny), czyli pokrewny, ale jednak inny rodzaj abstrakcji. Interesowano się bardziej konstrukcjami niż dowodami, te ostatnie utożsamiając z tymi pierwszymi. Dlatego ten zrazu ścisły sposób myślenia ostatecznie kulminuje w mistyce i magii, a nie w poszukiwaniu matematycznej, wyrażalnej wzorem, ścisłej regularności zjawisk. Przełomu dokonał dopiero Newton i to niezbyt świadomie, gdyż metodologicznie był wierny tradycji magicznej, podobnie jak Kepler. Newton odkrył ścisłość w przyrodzie – dopiero jemu przyszło do głowy, że zjawiska przebiegają dokładnie tak samo, w takich samych warunkach. Wcześniej sądzono, że doskonałość zastrzeżona jest tylko dla gwiazd.
Starożytni ponieśli porażkę: nie udało im się wyjść poza dogmat, iż arytmetyka ma do czynienia z dyskretnym i policzalnym, a geometria z kontinuum, a więc pewną formą nieskończoności. Nie udało się powiązać trwale matematyki z mechaniką, czyli nadać projektom szkoły Archimedesa ścisłej podbudowy matematycznej. Bodaj niewiele brakowało. Może brakowało tego, by Arystoteles poznał był lepiej matematykę... Gdy w swej Mechanice Arystoteles opisuje dźwignię i krążek, zadowala się ogólnym opisem ich działania, pozostając zupełnie obojętnym na możliwość sformułowania wzorów dla tych urządzeń, wzorów, które znano, nie uważając tego wszelako za wiedzę naukową. Jakaż to bowiem nauka, która traktuje o urządzeniach budowlanych...

Przełom w rozumieniu matematyczności bytu, a jednocześnie nowa inspiracja dla filozofii miały miejsce w XVII w., wraz z nowymi odkryciami matematycznymi. Zaczęło się od Kartezjusza, który poszukiwał czegoś w rodzaju unitarnej teorii przyrody. Sądząc, że racjonalną podstawą zjawisk jest przestrzenność, poddająca się ścisłej charakterystyce geometrycznej, postanowił ponumerować punkty przestrzeni. Dokonał tym samym przełomu w abstrakcji matematycznej. Jemu samemu pozwolił on na stworzenie geometrii analitycznej, a trzysta lat później genialny wynalazek Goedla pozwolił ponumerować wyrażenia i zarytmetyzować dowody matematyczne. Wyobraźnia filozofów została już trwale zafascynowana tą osobliwą matematyczną metafizyką – łączącą element arbitralny czy konwencjonalny (tak typowy dla konstrukcji metafizycznych) z pierwiastkiem konieczności rozumowej (tak upragnionej przez umysł filozoficzny). Kartezjusz miał jedną jeszcze ideé fixe, gdy chodzi o możliwość nauki uniwersalnej na podstawie matematycznej. Chciał mianowicie dokonać uogólnienia matematycznej optyki i przekształcić ją w kosmologię, czyli potraktować ciała niebieskie jako obiekty świecące i odbijające światło. Myślał, że zgeometryzowana fizyka światła będzie jakąś syntezą teologii i filozofii przyrody – światło bowiem uważano za pierwiastek boski w świecie widzialnym. Główne dzieło Kartezjusza, nie opublikowane za życia, z powodów cenzuralnych, nosiło tytuł „Świat, czyli traktat o świetle”. 
Najbardziej płodnym w historii połączeniem wyobraźni matematycznej i metafizycznej był wszelako system Leibniza. Poszukiwał on mathesis universalis, matematyki powszechnej, czyli wiedzy koniecznej, będącej uniwersalną nauką dedukcyjną o faktach. W świetle tej boskiej zaiste wiedzy to, co faktyczne, przypadkowe i empiryczne, to co dla ludzkiego umysłu zaledwie prawdopodobne, okazuje się konieczne, jako rozwinięcie jednej idei. Z nieskończonej mnogości możliwych, bo niesprzecznych światów, dobry Bóg powołał do istnienia realnego tylko jeden – ten, który jest najdoskonalszy, gdyż najbogatszy. Tylko on jest godny istnieć, będąc w istocie swej  rozwinięciem pojęcia, jakie Bóg ma o sobie – a rozwinięcie to jest kontinuum nieskończonym i gęstym prawd-pojęć, istniejących jako żywe monady – niedoskonałe kopie Boga. Każda monada jest mikrokosmosem, odzwierciedlającym w swym życiu wewnętrznym (a tylko takie posiada, gdyż bycie przedmiotem ma charakter tylko fenomenalny) cały byt, przy czym każda monada (np. ja albo ty) czyni to w sposób mniej lub bardziej doskonały; właśnie tą doskonałością różnią się między sobą monady. Monadologia jest systemem abstrakcyjnym w typie teorii matematycznej – czystą konstrukcją, której właściwości się bada, tak, jakby były to obiekty nie tyle konstruowane, lecz odkrywane. Konstruktem takim jest monada i abstrakcyjna przestrzeń, w matematycznym sensie tego słowa, w której każdy element jest odzworowaniem całości. Świat Leibniza to klasa zbiorów (monada jest zbiorem – jednością zamykającą w sobie wielość), którego wszystkie elementy są odwzorowaniem (tzw. apercepcją) wszystkich pozostałych; zasadą tego odwzorowania jest relacja „stopnia doskonałości”, czyli pewnego rodzaju relacja podobieństwa do monady absolutnej, będącej w jakiś sposób wyróżnionym elementem tego zbioru. Relacja ta jest w istocie metryką, gdyż absolutna charakterystyka każdej monady to jej „stopień doskonałości” – będący miarą odległości danej monady od monady absolutnej, czyli Boga). Leibniza fascynowała taka możliwość, że zbiór może nie mieć „przestrzeni”, w której byłyby usytuowane jego elementy – funkcję tej przestrzeni miałyby pełnić same elementy zbioru, będące zbiorami o takiej samej właściwości i tak w nieskończoność. Chodzi więc o iterację nieskończoności i nieskończoność zapadającą się w jedność, o przestrzenie zakrzywione do wewnątrz i pozbawione płaszczyzn, o jakieś topologiczne czarne dziury – takie to intuicje chodziły po głowie Leibnizowi (choć ich metaforyczne nazwy, zaznaczę dla porządku, na własną rękę tu proponuję). Jego metafizyka jest absolutnie matematyczna i wyrasta z fascynacji matematyczną konstrukcją. Fascynacja nieskończonością, odwzorowaniem, iteracją naznacza zresztą całą metafizykę XVII i XVIII wieku. Taka jest metafizyka Spinozy, taka jest też metafizyka Berkeleya.
Następny filozof, który uczył się od matematyków to Kant: fascynowała go tajemnica odsłaniania się nowych obiektów i ich własności. Jak to jest, że w pojęciu 5 zawiera się więcej niż w pojęciu 2, 3 oraz dodawania? Przecież z analizy treści dwójki i trójki nie wynika prawdziwość twierdzenia, że 2 plus 3 równa się 5! To trzeba policzyć. Czym jednak jest liczenie? Skąd bierze się i czym jest ta wiedza, której nam przybywa dzięki policzeniu sumy? Kant uważał za swoje wielkie odkrycie, że twierdzenia matematyczne nie są analityczne, tj. nie są rozwinięciem definicji występujących w nich terminów. Są za to syntetyczne, a więc powiększające wiedzę. To tak, jakby matematyk odkrywał myśląc jakiś świat, w którym napotyka się przedmioty i zdarzenia. Kant pragnął to wyjaśnić... Wyjaśnienie jest takie: matematyka odsłania strukturę naoczności, czyli formy spostrzegania – jest czymś w rodzaju nauki empirycznej, ale zwróconej nie w stronę przedmiotów doświadczenia, lecz w stronę podmiotu, a dokładnie warunków percypowania przedmiotu: czasu i przestrzeni. Nauką o czasie jest arytmetyka, nauką zaś o przestrzeni – geometria. Czas i przestrzeń są sposobami, w jaki dany jest nam świat, a tym samym warunkiem możliwości jego zjawiskowego istnienia, tj. istnienia jako zbioru postrzegalnych przedmiotów.
Ta sama teoria daje odpowiedź na pytanie, w jaki sposób matematyka stosuje się do przedmiotów doświadczenia. Ano w taki, że te ostatnie mają swe źródło w tym samym, co stanowi podstawę pewności prawd matematycznych – w strukturze samego rozumu. Powtórzmy, matematyka odnosi się do apriorycznych form myślenia i spostrzegania, które to umożliwiają zjawienie się wobec nas czegoś rozumnie doświadczanego – czyli przedmiotu. Z samej definicji przedmiotu (przedmiot to to, co dane w doświadczeniu) wynika, że przedmioty „słuchają się” prawidłowości matematycznej. Dlatego fizyka również jest nauką czystą, aprioryczną. Matematyka jest tu więc poniekąd teorią umysłu: geometria jest teorią spostrzegania i konstytuowania w spostrzeganiu tego, co równoczesne, a arytmetyka – teorią konsekucji, czyli doświadczania sekwencyjnego, którego formą jest czas. 

Ostatnim wielkim wydarzeniem w dziejach matematycznej inspiracji w filozofii jest podjęcie się przez twórcę fenomenologii i matematyka w jednej osobie Edmunda Husserla, na początku XX w. dowodu na to, że przedmioty matematyczne nie istnieją tylko w umyśle, a twierdzenia matematyczne nie są twierdzeniami o przeżyciach psychicznych, w których dane są owe byty umysłowe. Husserl przeszedł drogę od psychologizmu (niemalże dominującego na przełomie XIX i XX wieku w filozofii i naukach humanistycznych) do antypsychologizmu, z którym to stanowiskiem nazwisko jego trwale związane. Bronił idealnego statusu przedmiotów matematyki i zwalczał psychologizm, a wtórował mu w tym inny wielki matematyk, logik i filozof – jego rówieśnik Gottlob Frege. Od tego jednak momentu zaczyna się nowy rozdział w stosunkach matematyki i filozofii, wyznaczony przez narodziny nowej dyscypliny filozoficznej, czyli nowoczesnej filozofii matematyki. Na niej wszelako się nie znam. Muszę więc w tym miejscu wykład zakończyć.

Bardzo dziękuję Panu Profesorowi Romanowi Murawskiemu z IM UAM za cenne korekty wprowadzone do drukowanej wersji wykładu.

* Prof. dr hab. Jan Hartman, syn Stanisława Hartmana, jest filozofem. Kieruje Zakładem Filozofii i Bioetyki Collegium Medicum Uniwersytetu Jagiellońskiego.